Question

（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于、两点．

（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；

（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）设，由题设，2=2及求出的值，确定椭圆的标准方程，然后由直线与椭圆方程联立方程组，消去后，结合韦达定理与弦长公式线段的长.

（2）设，即

与第一问类似，结合韦达定理及点在直线上，将转化成关于的等式，

最后结合求出的最值.

试题解析：（1），2=2，即∴则

∴椭圆的方程为， 2分

将代入消去得：

设

∴ 5分

（2）设

，即

由，消去得：

由，整理得：

又，

由，得：

，整理得： 9分

代入上式得：，

，条件适合，

由此得：，故长轴长的最大值为． 12分

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆位置关系综合问题.