Question

已知函数f(x)=

3

sinx-cosx(x∈[0，π]），
（1）当x为何值时，f（x）取得最大值，并求函数f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥1．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin（x-

π

6

），根据x的范围可得 x-

π

6

的范围，从而求得函数f（x）最大值以及它的值域．
（2）由（1）可得，当x∈[0，π]时，f（x）≥1恒成立，由此求得不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，故当 x-

π

6

=

π

2

时，即x=

2π

3

时，函数取得最大值为2．
再由当 x-

π

6

=-

π

6

时，函数取得最小值为1，故函数的值域为[1，2]．
（2）由（1）可得，当x∈[0，π]时，f（x）≥1恒成立，故不等式f（x）≥1在[0，π]上的解集为∈[0，π]．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．