Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论．
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，代入可求a
（2）证明：由（1）可得f（x）=，利用定义，任取x₁＜x₂，只要检f（x₁）-f（x₂）的符号即可判断
（3）由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，及f（x）是R上的奇函数且是R上的减函数，可得3t²-2t＜k对t∈[1，2]恒成立．
方法一：由题意可得k＞（3t²-2t）_max，t∈[1，2]，结合二次函数的性质先求出g（x）的最大值，即可求k的范围
方法二：令g（t）=3t²-2t-k，要使3t²-2t-k＜0对t∈[1，2]恒成立，只需即可
解答：（1）解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，
∴，
∴…（2分）
（2）f（x）是R上的减函数．理由如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，
∵x₁＜x₂，∴，
∴，
∴f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是R上的减函数．…（6分）
（3）若不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k），又f（x）是R上的奇函数，所以f（t²-2t）＞f（k-2t²）…（8分）
又f（x）是R上的减函数，所以t²-2t＜k-2t²对t∈[1，2]恒成立．
即3t²-2t＜k对t∈[1，2]恒成立．…（10分）
方法一：∴k＞（3t²-2t）_max，t∈[1，2]，
设时g（t）是t的增函数，
所以g（t）_max=g（2）=8，
所以k＞8…（12分）
方法二：g（t）=3t²-2t-k，要使3t²-2t-k＜0对t∈[1，2]恒成立，只需即可
所以，所以k＞8…（12分）
综上：存在实数k∈（8，+∞）时，对于任意t∈[1，2]，
不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．…（12分）
点评：本题主要考查了奇函数的性质f（0）=0（定义域内有0时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的函数成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具