题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ cos x，0）， $数学公式$ =（0，sin x），记函数f（x）=（ $数学公式$ + $数学公式$ ）²+ $数学公式$ sin 2x，
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量 $数学公式$ 平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0， $数学公式$ ]上单调递减，求长度最小的 $数学公式$ ．

解：（1）∵f（x）=（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ sin 2x=3cos²x+sin²x+ $\text{[math]}$ sin2x=2cos（2x- $\text{[math]}$ ）+2 …（3分）
∴f（x）≥0，当且仅当2x- $\text{[math]}$ =2kπ+π，即x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z时取到等号．
∴函数f（x）的最小值是0，此时x的集合是{x|x=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z} …（6分）
（2）设 $\text{[math]}$ =（m，n），函数f（x）的图象平移后对应的函数为g（x），则g（x）=2cos[2（x-m）- $\text{[math]}$ ]+2+n
由题意函数g（x）的图象关于坐标原点中心对称，得
cos[2（0-m）- $\text{[math]}$ ]=0，且2+n=0，解得m= $\text{[math]}$ kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，且n=-2 …（8分）
①当m=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z时，g（x）=2cos（2x- $\text{[math]}$ ）=2sin 2x，在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，不符合题意，舍去；
②当m=kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z时，g（x）=2cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=-2sin 2x，在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递减，符合题意．…（10分）
∴ $\text{[math]}$ =（ kπ+ $\text{[math]}$ ，-2），k∈Z【若求出的结果是（kπ+ $\text{[math]}$ ，-2），给（10分）】
∴长度最小的 $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ，-2）…（12分）
分析：（1）根据平面向量数量积的运算，化简f（x）=2cos（2x- $\text{[math]}$ ）+2，再根据三角函数性质求解．
（2）设 $\text{[math]}$ =（m，n），先求出函数f（x）的图象平移后对应的函数g（x），根据中心对称性求出m，n的值或表达式．再结合条件要求确定长度最小的 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数性质，考查分析解决问题、分类讨论、计算能力．