Question

平面内与两定点、（）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系．

 

Answer 1

当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；

当时，曲线C的方程为， C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．

【解析】

试题分析：设出动点M的坐标，利用斜率乘积求出曲线轨迹方程，然后讨论 m的值，判断曲线是圆、椭圆或双曲线时m的值的情况．

试题解析：设动点为M，其坐标为，

当时，由条件可得

即， 又的坐标满足

，故依题意，曲线C的方程为． 4分

当时，曲线C的方程为，

C是焦点在y轴上的椭圆； 6分

当时，曲线C的方程为，

C是圆心在原点的圆； 8分

当时，曲线C的方程为，

C是焦点在x轴上的椭圆； 10分

当时，曲线C的方程为，

C是焦点在x轴上的双曲线． 12分

考点：（1）求轨迹方程；（2）圆锥曲线的综合应用.