Question

如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱B₁B与底面ABC所成的角为，且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC．
（1）证明AB⊥CB₁；?
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积；?
（3）求二面角C-AB₁-B的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面ABB₁A₁内，过B₁作B₁D⊥AB于D，由侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，知B₁D⊥平面ABC，故∠B₁BA是B₁B与底面ABC所成的角，由此能够证明AB⊥CB₁．
（2）由B₁D⊥平面ABC，知B₁D是三棱锥B₁-ABC的高，由B₁B=2，∠B₁BA=60°，得B₁D=2sin60°=

3

．由此能求出三棱锥B₁-ABC的体积．
（3）由△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD⊥B₁D，知CD⊥平面ABB₁．在平面ABB₁中作DE⊥AB₁于E，连接CE，则CE⊥AB₁，故∠CED为二面角C-AB₁-B的平面角，由此能求出二面角C-AB₁-B的大小．

解答：解：（1）在平面ABB₁A₁内，过B₁作B₁D⊥AB于D，
∵侧面ABB₁A₁⊥平面ABC，∴B₁D⊥平面ABC，
∴∠B₁BA是B₁B与底面ABC所成的角，
∴∠B₁BA=60°，（2分）
∵三棱柱的各棱长均为2．
∴△ABB₁是正三角形，
∴D是AB的中点，连接CD．
在正△ABC中，CD⊥AB，
∴AB⊥CB₁．（4分）
（2）∵B₁D⊥平面ABC，
∴B₁D是三棱锥B₁-ABC的高，
∴由B₁B=2，∠B₁BA=60°，
得B₁D=2sin60°=

3

．（6分）
∴VE1-ABC=

1

3

S_△ABC•B₁D
=

1

3

（

1

2

×

3

2

×2×2）•

3

=1．（8分）
（3）∵△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD⊥B₁D，
∴CD⊥平面ABB₁．
在平面ABB₁中作DE⊥AB₁于E，连接CE，则CE⊥AB₁，
∴∠CED为二面角C-AB₁-B的平面角，（10分）
在Rt△CED中，CD=2sin60°=

3

，
连接BA₁交AB₁于O，则BO=

3

，
∴DE=

1

2

BO=

3

2

，∴tanCED=

CD

DE

=2，
∴所求二面角C-AB₁-B的大小为arctan2．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查二面角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．