Question

已知点An(xn，yn)(n∈N+，xn≠0)在抛物线y＝x2上，过An点的抛物线的切线ln交x轴于点Bn＋1(xn＋1，0)．设x1＝1， (1) 求切线l1的方程 (2) 求数列{xn}的通项公式 (3) 设bn＝nxn，Sn＝，证明：当n＞3时，Sn＞3．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵点A1(x1，y1)在抛物线y=x2上，且x1=1，∴y1=1，即A点坐标是(1，1)． 　　又∵l1的斜率为=2， 　　∴l1的方程为2x－y－1=0． 　　分析：利用导数的几何意义求出切线ln的斜率关于切点坐标的表达式
(2)	∵An在抛物线上，∴yn=，∴点An(xn，)． 　　∵ln的斜率为｜=2xn，又直线ln过An、Bn+1两点， 　　∴=2xn 　　∴，∴{xn}是以x1=1为首项，为公比的等比数列．∴xn= 　　分析：由斜率公式得数列{xn}的递推关系．
(3)	∵bn=n·，∴Sn=1＋2·＋3·＋…＋n·　　　　　① 　　Sn=＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·　　② 　　①－②，得Sn=1＋＋＋＋…＋－n·， 　　∴Sn＝4 　　∵当＞3时，，∴数列是递减数列． 　　又数列也是递减数列∴Sn是一个递增数列，故当n＞3时，Sn≥S4= 　　点评：当点的坐标所成的数列的通项与曲线的切线相关时，可利用导数的几何意义求出相关点的坐标关于切点坐标的关系式，设法得到数列的通项．