题目内容

如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC= $数学公式$ ，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，如图2．
（Ⅰ）求三棱椎D-PAB的体积；
（Ⅱ）求证：AP∥平面EFG；
（Ⅲ）求二面角G-EF-D的大小．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）证明：如图以D为原点，以 $\text{[math]}$ 为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz．
则有关点及向量的坐标为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
设平面EFG的法向量为 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ．取 $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
又AP?平面EFG．∴AP∥平面EFG
（Ⅲ）由已知底面ABCD是正方形∴AD⊥DC，又∵PD⊥面ABCD∴AD⊥PD
又PD∩CD=D∴AD⊥平面PCD，∴向量 $\text{[math]}$ 是平面PCD的一个法向量， $\text{[math]}$ =（2，0，0）
平面EFG的法向量为 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ．
结合图知二面角G-EF-D的平面角为45⁰．
分析：（I）根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等，写出体积的表示式，得到结果．
（II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，进而写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据法向量与直线的方向向量垂直，得到线面平行．
（III）两个平面的法向量一个已经求出，另一个在图形中存在，这样根据两个平面的法向量所成的角，得到两个平面的二面角．
点评：本题考查立体几何的综合题目，本题解题的关键是建立坐标系，把一些理论性的正明转化成运算，降低了题目的难度．