Question

（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，

．

   （I）证明：平面SAB；

   （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。

Answer 1

解法一：

   （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

    连结SE，则

    又SD=1，故，

    所以为直角。         …………3分

    由，

    得平面SDE，所以。

    SD与两条相交直线AB、SE都垂直。

    所以平面SAB。              …………6分

   （II）由平面SDE知，

    平面平面SED。

    作垂足为F，则SF平面ABCD，

   

    作，垂足为G，则FG=DC=1。

    连结SG，则，

    又，

    故平面SFG，平面SBC平面SFG。   …………9分

    作，H为垂足，则平面SBC。

    ，即F到平面SBC的距离为

    由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有

    设AB与平面SBC所成的角为α，

    则         …………12分

    解法二：

    以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。

设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又设

   （I），，

由得

故x=1。

由

又由

即        …………3分

于是，

故

所以平面SAB。

   （II）设平面SBC的法向量，

则

又

故            …………9分

取p=2得。

故AB与平面SBC所成的角为