Question

（2013•郑州二模）已知函数f（x）=lnx与g（x）=kx+b（k，b∈R）的图象交于P，Q两点，曲线y=f（x）在P，Q两点处的切线交于点A．
（Ⅰ）当k=e，b=-3时，求f（x）-g（x）的最大值；（e为自然常数）
（Ⅱ）若A（

e

e-1

，

1

e-1

），求实数k，b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）构建新函数，求导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可求函数的最大值；
（Ⅱ）先求出切线方程，代入A的坐标，进而求出P，Q的坐标，即可求实数k，b的值．

解答：解：（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
则h′(x)=

1

x

-e=-

e

x

(x-

1

e

)，----（1分）
当0＜x＜

1

e

时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
当x＞

1

e

时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数．
所以函数h（x）的增区间为(0，

1

e

)，减区间为(

1

e

，+∞)．
∴x=

1

e

时，f（x）-g（x）的最大值为h(

1

e

)=-1-1+3=1；----（4分）
（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f（x）=lnx切于点（x₀，lnx₀），则其斜率k=

1

x0

，
故切线l：y-lnx0=

1

x0

(x-x0)，
将点A(

e

e-1

，

1

e-1

)代入直线l方程得：

1

e-1

-lnx0=

1

x0

(

e

e-1

-x0)，
即

e-1

e

lnx0+

1

x0

-1=0，----（7分）
设v(x)=

e-1

e

lnx+

1

x

-1(x＞0)，则v′(x)=

e-1

ex

-

1

x2

=

e-1

ex2

(x-

e

e-1

)，
当0＜x＜

e

e-1

时，v′（x）＜0，函数v（x）为增函数；
当x＞

e

e-1

时，v′（x）＞0，函数v（x）为减函数．
故方程v（x）=0至多有两个实根，----（10分）
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的两个实根为1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以k=

1

e-1

，b=

1

1-e

为所求．----（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，解题的关键是构建函数，正确运用导数知识．