Question

以斜边为4cm，一个内角为60°的直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是（　　）cm²．

• A、8π
• B、(6+2

  3

  )π
• C、(9+2

  3

  )π
• D、(10+2

  5

  )π

Answer 1

分析：根据题意，所得几何体是以直角三角形的斜边上的高为底面半径、两条直角边分别为母线的两个圆锥的组合体．由此利用解直角三角形的知识和圆锥的侧面积公式加以计算，可得该几何体的表面积．

解答：解：设Rt△ABC中，斜边AB=4cm，∠B=60°，
可得BC=ABcos60°=2cm，AC=ABsin60°=2

3

cm，
作CD⊥AB于D，则
∵Rt△ABC的面积S=

1

2

AC×BC=

1

2

AB×CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2×2 3

4

=

3

cm，
以AB为轴旋转一周，得到有公共底面圆的两个圆锥侧面围成的几何体，
该圆锥的底面半径为CD，上下两个圆锥的母线分别为AC、BC，
∴该几何体的表面积为
S=π•CD•AC+π•CD•BC=π（AC+BC）•CD=π（2+2

3

）•

3

=（6+2

3

）cm²．
故选：B

点评：本题将直角三角形围绕斜边旋转一周，求围成的几何体的表面积．着重考查了解直角三角形、圆锥的侧面积公式等知识，属于中档题．