Question

19．已知二次函数f（x）图象过原点，且f（-1）∈[-1，2]，f（1）∈[2，4]，求f（-2）取值范围．

Answer 1

分析 由二次函数y=f（x）的图象过原点，设出二次函数解析式为f（x）=ax²+bx（a≠0），把f（-1）和f（1）用含有a，b的代数式表示，联立关于a，b的方程组解出a，b，然后把f（-2）也用含有a，b的代数式表示，最后转化为用f（-1）和f（1）表示，由f（-1）和f（1）的范围求得f（-2）的范围．

解答 解：∵二次函数y=f（x）的图象过原点，
∴设f（x）=ax²+bx（a≠0），
又$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a+b\\ f（-1）=a-b\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}[f（-1）+f（1）]\\ b=\frac{1}{2}[f（1）-f（-1）]\end{array}\right.$，
∴f（-2）=4a-2b=4×$\frac{1}{2}$[f（-1）+f（1）]-2×$\frac{1}{2}$[f（1）-f（-1）]=3f（-1）+f（1），
又∵f（-1）∈[-1，2]，f（1）∈[2，4]，即1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴-1≤3f（-1）+f（1）≤10，
即-1≤f（-2）≤10．
∴f（-2）的取值范围是[-1，10]．

点评 本题考查了函数值的求法，训练了利用不等式求函数的值的范围，解答此题的关键是把f（-2）转化为含有f（-1）和f（1）的表达式，此题是易错题，学生往往会直接由f（-1）和f（1）的范围联立求出a和b的范围，然后把f（-2）用a和b的代数式表示，由a和b的范围求解f（-2）的范围，忽略了其中a和b是相关联的．