Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，﹣2），点C满足，其中m，n∈R且m﹣2n=1．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；

（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer 1

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的简单性质．

专题：

计算题．

分析：

（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；

（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．

（3）由（2）得从而又e得出．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可．

解答：

解：（1）设C（x，y），∵

∴（x，y）=m（1，0）+n（0，﹣2）．

∴∵m﹣2n=1，

∴x+y=1

即点C的轨迹方程为x+y=1（15分）

（2）由得（b²﹣a²）x²+2a²x²﹣a²﹣a²b²=0

由题意得（8分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则

∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x₁x₂+y₁y₂=0．

∴x₁x₂+（1﹣x₁）（1﹣x₂）=1﹣（x₁+x₂）+2x₁x₂=．即b²﹣a²﹣2a²b²=0．

∴为定值．（14分）

（3）∵

∴

∵e∴．

∴

解得：0＜a≤，0＜2a≤1

∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．

点评：

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．