题目内容
（2012•北京模拟）如果正三棱锥的所有棱长都为a，那么它的体积为（ ）
分析：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．在正△ABC中，先由重心定理求出AO的长，进而在Rt△PAO中求出高PO，底面正△ABC的面积易求，再根据三棱锥的体积公式V三棱锥P-ABC=
S△ABC×PO即可．
| 1 |
| 3 |
解答：解：如图所示：过顶点P作PO⊥底面ABC，垂直为O，则点O是底面的中心．
∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=
×
a=
a．
在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=
=
=
a．
又∵S正△ABC=
a2，
∴V三棱锥P-ABC=
×
a2×
a=
a3．
故选A．
∵点O是底面的中心，即为△ABC的重心，∴OA=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
在Rt△PAO中，由勾股定理得PO=
| PA2-AO2 |
a2-(
|
| ||
| 3 |
又∵S正△ABC=
| ||
| 4 |
∴V三棱锥P-ABC=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
| ||
| 12 |
故选A．
点评：理解正三棱锥的定义及体积的计算方法是解题的关键．
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