Question

若方程x²-5x+m=0与 x²-10x+n=0的四个实根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m：n的值为

1

4

．

Answer 1

分析：两个方程中的一个方程的一个根为1，然后逐一分析当1是第一个方程的根或是第二个方程的根的情况，由1是方程的一个根，利用根与系数的关系可求方程的另一个根，然后结合四个数是等比数列得到另一个方程根的取值情况可得．

解答：解：设1为第一个方程的根，那么显然另一个根为4，m=4；
由于最终的四个数排列成为首项是1的等比数列，
如果是1，4，16，64，就不符合第二个方程中两根之和为10的情况，
所以经过检验，四个根应该为1，2，4，8，那么m=4，n=16．此时m：n=

1

4

；
如果1是第二个方程的根，那么n=9，两个根分别是1和9，
如果等比数列前两项是1，9，则第三第四项不会是第一个方程的根，不符合题意，
那么就只有可能是第1项和第4项分别是1和9，那么在第一个方程中，两根之积等于9，
但是此时方程无实数根 因此，此题只有唯一的解m：n=

1

4

．
故答案为：

1

4

点评：本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了一元二次方程根的存在条件，涉及分类讨论的数学思想，属中档题．