题目内容

已知集合 $数学公式$ ，求函数f（x）=a²-1+ax+x²，x∈M的最小值．

解：∵ $\text{[math]}$ ≤2^4-2x，
∴x²+x≤4-2x，
∴-4≤x≤1，
即M=[-4，1]---------（2分）
∵f（x）=a²-1+ax+x²= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a²-1，
①当-4≤- $\text{[math]}$ ≤1时，y_min= $\text{[math]}$ a²-1；------------（2分）
②当 $\text{[math]}$ ＞1时，y_min=f（1）=a²+a；------------（2分）
③- $\text{[math]}$ ＜-4时，y_min=f（-4）=a²-4a+15．------------（2分）
∴y_min= $\text{[math]}$ ．
分析：由对数函数的性质可求得M=[-4，1]，将f（x）=a²-1+ax+x²配方为f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ a²-1之后，根据其对称轴x=- $\text{[math]}$ 与区间[-4，1]之间的关系，利用二次函数的单调性即可求得相应情况下的最小值．
点评：本题考查指、对数不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于中档题．