Question

已知集合A为函数f（x）=lg（-x²+2x）的定义域，集合B={x|x²-2kx+k²-1＞0}．
（Ⅰ）求集合A、B；
（Ⅱ）若A是B的真子集，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由对数式的真数大于0求解一元二次不等式化简集合A，因式分解法求解一元二次不等式化简集合B；
（Ⅱ）根据子集概念，利用端点值间的关系分类列不等式求解k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由-x²+2x＞0，得0＜x＜2，∴A=（0，2），
由x²-2kx+k²-1＞0，即[x-（k+1）][x-（k-1）]＞0，得x＜k-1或x＞k+1，
∴B=（-∞，k-1）∪（k+1，+∞）．
（Ⅱ）若A是B的真子集，则
①k-1≥2，得k≥3；
②k+1≤0，得k≤-1．
综上得，k∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了集合间的包含关系及其应用，体现了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对端点值的取舍，是基础题．