题目内容

20．下面给出的四个命题中：
①以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x-1）2+y2=1；
②点（1，2）关于直线L：X-Y+2=0对称的点的坐标为（0，3）．
③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”；
④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有2条．
其中是真命题的有①②③（将你认为正确的序号都填上）．

分析 ①以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的半径为1，可得原点方程，即可判断出正误；
②设点（1，2）关于直线L：X-Y+2=0对称的点的坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}-\frac{y+2}{2}+2=0}\\{\frac{y-2}{x-1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得即可判断出正误．
③利用命题的否定定义即可判断出正误；
④这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，即可判断出正误．

解答 解：①以抛物线y2=4x的焦点（1，0）为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（x-1）2+y2=1，正确；
②设点（1，2）关于直线L：X-Y+2=0对称的点的坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2}-\frac{y+2}{2}+2=0}\\{\frac{y-2}{x-1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，因此所求对称点为（0，3），正确．
③命题“?x∈R，使得x2+3x+4=0”的否定是“?x∈R，都有x2+3x+4≠0”，正确；
④命题：过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有3条，分别为x=0，y=1，y=x+1，因此不正确．
其中是真命题的有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了圆锥曲线的判定方法、命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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