Question

15、定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）=（2-x），在区间[1，2]上是单调递减函数．关于函数f（x）有下列结论：
①图象关于直线x=1对称；②最小正周期是2；
③在区间[-2，-1]上是减函数；④在区间[-4，4]上的零点最多有5个．
其中正确的结论序号是

①③④

．（把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析：①由f（x）=（2-x），可知正确．
②由“函数f（x）是奇函数和f（x）=-f（-x）”可推知f（x+2）=-f（x）不符合周期函数定义．
③由奇偶性质在对称区间上的单调性判断．
④研究对称区间上即可，f（0）=0，不妨设f（1）=0，因为函数在[1，2]上单调减，所以只有一个，再由f（x+2）=-f（x）知f（3）=0，在[3，4]只有一个，可知正确．

解答：解：①∵f（x）=（2-x），
∴图象关于直线x=1对称，正确．
②∵函数f（x）是奇函数
∴f（x）=-f（-x）
∵f（x）=（2-x），
f（x+2）=-f（x）
不具有周期性．不正确
③∵在区间[1，2]上是单调递减函数，函数f（x）是奇函数
∴在区间[-2，-1]上是减函数，正确．
④由函数是奇函数，当x=0时，f（0）=0，
不妨设f（1）=0，因为函数在[1，2]上单调减，所以只有一个，
由f（x+2）=-f（x）知f（3）=f（2+1）=-f（1）=0
则在[3，4]只有一个，
所以最多有5个零点，正确
故答案为：①③④

点评：本题主要考查函数的奇偶性，单调性，周期性和对称性，综合性很强，应分清思路，耐心解决．