Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-，0），F₂（，0），离心率e=．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设椭圆方程为，有c=，求得a，b，最后写出椭圆方程；
（2）由，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．
解答：解：（1）设椭圆方程为，则c=，，（4分）
∴a=2，b=1，所求椭圆方程．（5分）
（2）由，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
则△＞0得m²＜5（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=y₁-y₂=x₁-x₂，（8分）
|PQ|=
解得．m=，满足（*）
∴m=．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解答的关键是利用方程思想利用设而不求的方法求出m值．