Question

已知椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率．过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得．F₂为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x，y）．
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率，建立方程组，求得几何量，从而扩大椭圆的方程；
（2）利用向量知识，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求λ的值．
解答：解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的两准线间距离为6，离心率，
∴，∴，∴=
∴所求椭圆方程为…（6分）
（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y），∴y=y．
∵，∴3-x=λ（x-3），∴x=3λ+3-λx…（9分）
又∵，∴，即…（12分）
∴当且仅当，即时，点Q在定圆上．…（15分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．