Question

（2012•湖南模拟）抛物线C的准线方程为x=-

p

4

（p＞0），顶点在原点，抛物线C与直线l：y=x-1相交所得弦长为

10

，则p的值为

1

．

Answer 1

分析：首先写出直线l的方程，并于抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出y₁•y₂，y₁+y₂，进而根据两点间距离求出AB的长，结合条件直接求出p的值．

解答：解：由题知抛物线C的准线方程为x=-

p

4

（p＞0），顶点在原点，
所以其方程为y²=px，
与直线l的方程为y=x-1，联立
 

y=x-1 y2=px

得：y²-py-p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1+y2=p  y1y2=-p

，
∴|AB|=

1+ 1 k2

(y1+y2)2-4y1y 2

=

2

•

p2-4(-p)

，
由题意得

2

•

p2-4(-p)

=

10

，
解得p=1．
故答案为：1．

点评：本题是中档题，考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用．