Question

已知圆，定点.动圆M过点F₂，且与圆F₁相内切.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A,B两点，且△ABF₁的面积为，求直线l的方程.

Answer 1

同下

解析:

（1）设圆M的半径为r．

因为圆M与圆F₁相内切，所以MF₁＝4－r．

因为圆M过点F₂，所以MF₂＝r．

所以MF₁＝4－MF₂，即MF₁＋MF₂＝4．

所以点M的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的椭圆．

……………………3分

   且此椭圆的方程形式为＋＝1(a＞b＞0)．

其中2a＝4，c＝1，所以a＝2，b＝．

所以曲线C的方程＋＝1．……………5分

（2）（方法一）当直线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，－)，

此时S_△ABF＝≠，不合题意．………………………………………………………6分

设直线l的方程为y＝kx (k≠0)，代入椭圆方程＋＝1，得y₁＝，

y₂＝－．

所以S_△ABF＝S_△AOF＋S_△BOF＝OF₁×∣y₁∣＋OF₁×∣y₂∣＝OF₁×(y₁－y₂)＝．

……………………………………………8分

因为S_△ABF＝，所以＝．解得k＝±．

故所求直线l的方程为x±2y＝0．……………………………………………………10分

（方法二）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S_△ABF＝2S_AOF．

因为S_△ABF＝，所以S_AOF＝．              ………………………………6分

不妨设点A(x₁，y₁)在x轴上方，则S_AOF＝×OF₁×y₁＝．

所以y₁＝，x₁＝±，即点A的坐标为(，)或(－，)．……………8分

所以直线l的斜率为±．

故所求的直线l的方程为x±2y＝0．…………………………………………………10分

（方法三）当直线l的斜率不存在时， A，B两点的坐标分别是(0，)，(0，－)，

此时S_△ABF＝≠，不合题意．………………………………………………………6分

设直线l的方程为y＝kx (k≠0)，代入椭圆方程＋＝1，得，

所以，

到直线AB的距离d=,

所以S_△ABF＝=2       …………………8分

所以＝．解得k＝±．   …………………………9分

故所求直线l的方程为x±2y＝0．……………………………………………………10分