Question

10．某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N⁺）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N⁺），已知1≤n≤m时，函数f（n）=32-n．
（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；
（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；
（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？

Answer 1

分析 （1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）=kn+b，（n∈N^*），利用f（16）=40，f（30）=68，求出参数，进而得到f （n）的表达式；
（2）利用1≤n≤m时，函数f（n）=32-n；当m≤n≤30时，f（n）=2n+8，建立方程，求出m，利用等差数列的求和公式求出前m天此型号空调的销售总量；
（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+$\frac{（x-8）（26+2x+8）}{2}$≥570，求出x，即可得出结论．

解答 解：（1）根据题意，当m≤n≤30时，设f（n）=kn+b，（n∈N^*）
∵f（16）=40，f（30）=68，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=40}\\{30k+b=68}\end{array}\right.$，∴k=2，b=8，
∴f（n）=2n+8（m≤n≤30），
（2）∵1≤n≤m时，函数f（n）=32-n；当m≤n≤30时，f（n）=2n+8，
∴32-m=2m+8，∴m=8．
∴该店前m天此型号空调的销售总量$\frac{8（31+24）}{2}$=220台；
（3）设该店此型号空调销售到第x天时，才可被认为开始旺销，则销售总量220+$\frac{（x-8）（26+2x+8）}{2}$≥570，
∴x²+9x-386≥0，∴x≥18，
∴设该店此型号空调销售到第18天时，才可被认为开始旺销．

点评 已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．