Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]，
求：（1）

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函数f(x)=

a

•

b

-|

a

+

b

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积公式与两角和的余弦公式，化简可得

a

•

b

=cos(

3

2

x+

1

2

x)=cos2x；由向量模的公式与同角三角函数的基本关系，化简可得|

a

+

b

|=2

cos2x

=2cosx；
（2）由（1）可得f（x）=cos2x-2cosx，利用二倍角的余弦公式化简得f(x)=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

，再根据cosx在区间[0，

π

2

]的取值与二次函数的性质加以计算，可得函数f（x）的最小值．

解答：解：（1）∵

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，
∴

a

•

b

=cos

3

2

x•cos

x

2

-sin

3

2

x•sin

x

2

=cos(

3

2

x+

1

2

x)=cos2x．
∵

a

+

b

=（cos

3

2

x+cos

x

2

，sin

3

2

x-sin

x

2

）
∴|

a

+

b

|=

(cos 3 2 x+cos 3 2 )2+(sin 3 2 x-sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

．
∵x∈[0，

π

2

]，得cosx＞0，
∴|

a

+

b

|=2|cosx|=2cosx．
（2）由（1）的结论，可得
f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，可得0≤cosx≤1．
∴当cosx=

1

2

时，即x=

π

3

时，f（x）取得最小值-

3

2

．

点评：本题考查了向量的数量积与模的公式、三角恒等变换公式、二次函数的性质和函数最值的求法等知识，属于中档题．