Question

已知椭圆的离心率为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴交于定点Q；

 （III）在（II）条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围。

Answer 1

（本小题满分13分）

       解：（I）由题意知

      

       故椭圆C的方程为……………………………………4分

   （II）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为

       ①…………6分

       设点

       直线AE的方程为

      

       整理，得  ②

       由①得代入②

       整理，得x=1.

       所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）.…………………………9分

   （III）当过点Q的直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，且在椭圆C上.

       由  ①

       易知△>0.

       所以

    则

       因为

       所以………………………………………………11分

       当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1.

       解得

       此时

       所以的取值范围是……………………………………13分