Question

己知函数f(x)=e^x，xR.
(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数图象相切，求实数k的值；
(2)设x﹥0，讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx²(m﹥0)公共点的个数；
(3)设，比较与的大小并说明理由。

Answer 1

(1)；(2)当m时,有0个公共点;当m=,有1个公共点;当m有2个公共点；(3).

试题分析：(1)f (x)的反函数. 直线y=kx+1恒过点P（0，1），该题即为过某点与曲线相切的问题，这类题一定要先设出切点的坐标，然后求导便可得方程组，解方程组即可得k的值.
(2)曲线y=f(x)与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 而这个方程可化为
，令，结合的图象即可知道取不同值时，方程的根的个数.
(3) 比较两个式子的大小的一般方法是用比较法，即作差，变形，判断符号.
 
 
结合这个式子的特征可看出，我们可研究函数的函数值的符号，而用导数即可解决.
试题解析：(1)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切于点，则.所以                      4分
(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数. 5分
由，令，
则 在上单调递减，这时； 在上单调递增，这时；所以是的最小值.     6分
所以对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下:
当m时,有0个公共点;
当m=,有1个公共点;
当m有2个公共点;                  8分
(3)设 
          9分
令，则，
的导函数，所以在上单调递增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上.  12分
当时，且即，
 
所以当时，                    14分