Question

已知数列{a_n}及其前n项和S_n满足：a₁=3，S_n=2S_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）．  
（1）证明：设b_n=

Sn

2n

，{b_n}是等差数列； 
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1，即可证明
（2）由（1）可求s_n，然后利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可求a_n

解答：（本题满分14分）
解：（1）∵Sn-2Sn-1=2n
∴

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1（n≥2）…（4分）
设bn=

Sn

2n

则{b_n}是公差为1的等差数列        …（6分）
（2）又∵b1=

S1

2

=

a1

2

=

3

2

，
∴

Sn

2n

=n+

1

2

，
∴Sn=(n+

1

2

)2n…（9分）
当n≥2时，an=sn-sn-1=(2n+3)2n-2…（12分）
∴an=

3 (2n+3)2n-2

(n=1) (n≥2)

Sn=(n+

1

2

)2n…（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的递推公式a_n=s_n-s_n-1的应用