Question

已知数列{a_n}及其前n项和S_n满足：a₁=3，S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：设b_n=

Sn

3n

，{b_n}是等差数列； 
（2）求S_n及a_n；
（3）判断数列{a_n}是否存在最大或最小项，若有则求出来，若没有请说明理由．

Answer 1

分析：（1）S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2）⇒

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1（n≥2），设b_n=

Sn

3n

，易证{b_n}是等差数列；
（2）利用等差数列的通项公式可求得

Sn

3n

=n，从而可得S_n，继而可求a_n；
（3）由（2）知，a_n=（2n+1）3^n-1，易证

an

an+1

＜1，数列{a_n}为递增数列，从而可知数列{a_n}有最小项，无最大项．

解答：解：（1）∵S_n=3S_n-1+3ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴S_n-3S_n-1=3ⁿ（n≥2，n∈N^*），
∴

Sn

3n

-

Sn-1

3n-1

=1（n≥2）．
设b_n=

Sn

3n

，则{b_n}是公差为1的等差数列．
（2）又∵b₁=

S1

3

=

a1

3

=1，
∴

Sn

3n

=b₁+（n-1）×1=n，
∴S_n=n•3ⁿ．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n+1）3^n-1，
又a₁=3满足上式，
∴a_n=（2n+1）3^n-1，S_n=n•3ⁿ．
（3）∵

an

an+1

=

(2n+1)3n-1

(2n+3)3n

=

2n+1

3(2n+3)

＜1，
又a_n＞0，
∴a_n＜a_n+1，则数列{a_n}为递增数列，
∴数列{a_n}有最小项，无最大项，此时最小项为a₁=3．

点评：本题考查等差关系的确定，考查等差数列的通项公式与数列的函数特性（单调性），考查推理与运算能力，属于难题．