Question

【题目】如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接，根据中位线，且，而，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面；（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，计算平面与平面的法向量，利用两个法向量求得二面角的余弦值为.

试题解析：

（1）取的中点，连接．

∵为的中点，

∴，且，

∵图①中四边形为等腰梯形，，且，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形，∴，

∵平面平面，

∴平面

（2）易证两两垂直，故以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

∴，

所以，设平面的法向量为．

则令，得，

显然为平面的一个法向量，

所以，

由图知平面与平面所成的二面角为锐角，所以所求的余弦值为．