题目内容
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（1）求sinB的值；
（2）若
•
=2，b=2
，求a和c的值．
（1）求sinB的值；
（2）若
| BA |
| BC |
| 2 |
考点：余弦定理的应用
专题：综合题,解三角形
分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a和c的值．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a和c的值．
解答：
解：（1）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．
又sinA≠0，所以cosB=
因为B是△ABC的角
所以B∈[0，π]
所以sinB=
（2）由
•
=2，可得accosB=2，
因为cosB=
，所以ac=6，
由b2=a2+c2-2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a-c）2=0，即a=c，
所以a=c=
．
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．
又sinA≠0，所以cosB=
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因为B是△ABC的角
所以B∈[0，π]
所以sinB=
2
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（2）由
| BA |
| BC |
因为cosB=
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由b2=a2+c2-2accosB，
可得a2+c2=12，
所以（a-c）2=0，即a=c，
所以a=c=
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点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．
练习册系列答案
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