题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
： 
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
，设
是椭圆
上关于
轴对称的不同两点，直线
与
相交于点
，求证：点
在椭圆上.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】(1)解：由题意知b＝
＝
.
因为离心率e＝
＝
，所以
＝
＝
.所以a＝2
.
所以椭圆C的方程为
＝1.
(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，则直线PM的方程为y＝
x＋1，①
直线QN的方程为y＝
x＋2.②
(证法1)联立①②解得x＝
，y＝
，即T
.
由
＝1可得
＝8－4
.
因为
＝
＝1，所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
(证法2)设T(x，y)．联立①②解得x0＝
，y0＝
.
因为
＝1，所以
＝1.整理得
＝(2y－3)2，所以
－12y＋8＝4y2－12y＋9，即
＝1.
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．
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