Question

（2011•安徽模拟）已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）
（1）求b的值；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（-x）=f（x）采用特殊值的方式可求出b的值，
（2）由（1）求出g（x）的解析式后，利用在区间（0，1）上为单调增函数，则有g′（x）≥0求得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R）对任意x∈R，有f（-x）=f（x），
∴令x=

π

2

得：(-

π

2

)2+bsin (-

π

2

)-2=( 

π

2

)2+bsin(

π

2

)- 2，解得：b=0，
（2）由（1）得f（x）=x²-2，
∴有：g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
∵g（x）区间（0，1）上为单调增函数，
∴有g′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
又∵g′（x）=2x+2+a

1

x

，
∴2x+2+a

1

x

≥0在（0，1）上恒成立，
即：a≥-2x²-2x在（0，1）上恒成立，
令∅（x）=-2x²-2x，
则只须a大于等于∅（x）=-2x²-2x在（0，1）上的最大值，
而∅（x）=-2x²-2x在（0，1）上有∅（x）＜∅（0）=0，
∴a≥0．
故答案为：（1）b=0，（2）a≥0．

点评：本题以恒成立问题为背景考查函数的单调性与导数的关系，在考题中属于常见的题目，要注重平常的积淀．