Question

【题目】设函数，，(其中).

（1）时,求函数的极值;

（2）证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.

Answer 1

【答案】(1) ；;(2)见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，求出f（x）的单调区间，求出满足条件的m的范围，从而证出结论即可．

解：（I）当时, ,

令,得,,当变化时,的变化如下表:

		极大值		极小值

由表可知,；；

（II）设，，，若要有解，需有单减区间，则要有解

，由，，记为函数的导数

则 ，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：

①当时，，，在上，单增，

故单增，，无解；

②当，时，，，因为单增，在上，在上

当时，

（i）若，即时，，单增，，无解；

（ii）若，即，，在上，，单减；，，在区间上有唯一解，记为；在上，单增 ，，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在上，在上，当时，取得最小值，此时

若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有

联立两式解得.综上，当时，