Question

已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-

1+a

x

（a∈R），
（1）若a=1，求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x），求函数h（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，可求函数h（x）的极值点．

解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x-lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=

x-1

x

，
∴f′(e)=

e-1

e

，
∵f（e）=e-1，
∴函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y-（e-1）=

e-1

e

（x-e），
即y=

e-1

e

x；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x-alnx+

1+a

x

，
∴h′（x）=

(x+1)[x-(1+a)]

x2

．
当a+1＞0，即a＞-1时，在（0，1+a）上h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增，
∴函数有极小值点x=1+a；
当a+1≤0，即a≤-1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，
∴函数在（0，+∞）上单调递增，此时函数无极值点．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值点，正确求导，确定函数的单调性是关键．