Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，x∈[2，4]．
（1）判断f（x）的单调性，并利用单调性的定义证明：
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[2，4]，且x₁＜x₂，利用作差可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；
（2）由（1）可知函数f（x）区间[2，4]上单调递增，由单调性即可求得函数的最值；

解答：解：（1）函数f（x）在区间[2，4]上单调递增．
任取x₁，x₂∈[2，4]，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵2≤x₁＜x₂≤4，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴由单调性的定义知，函数f（x）区间[2，4]上单调递增．
（2）由（1）知，函数f（x）区间[2，4]上单调递增，
∴[f（x）]_min=f（2），[f（x）]_max=f（4），
∵f(2)=

2

2+1

=

2

3

，f(4)=

4

4+1

=

4

5

，
∴[f(x)]min=

2

3

，[f(x)]max=

4

5

．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数最值的求解，属基础题，定义是证明函数单调性的基本方法，要熟练掌握．