Question

已知关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，则（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是

-

9

2

．

Answer 1

分析：由根与系数关系得出x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，再将（x₁-1）²+（x₂-1）²化简为(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2，代入可得．

解答：解：∵关于x的方程x²+2kx+k²+k+3=0的两根分别是x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2k，x₁•x₂=k²+k+3，
（x₁-1）²+（x₂-1）²=x12+x22-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+2
=（-2k）²-2（k²+k+3）-2（-2k）+2
=2k²+2k-4=2(k+

1

2

)2-

9

2

≥-

9

2

故答案为：-

9

2

点评：本题考查根与系数的关系和配方法的应用，根与系数的关系是数学中的重点内容，此题进行配方是解决问题的关键．