Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-3（2a+1）x-3，x∈R，a是常数．
（1）若a=

1

2

，求函数y=f（x）在区间（-3，3）上零点的个数；
（2）若?x＞-1，f′（x）＞-3恒成立，试证明a＜0．

Answer 1

分析：（1）先求导函数f′（x）=3x²-3x-6，求得函数的极值，根据零点定理及函数的单调性，从而可得f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点；
（2）问题等价于?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立，再用分离参数得a＜

x2

2(x+1)

，利用基本不等式可求f(x)=

x2

2(x+1)

的最值．

解答：解：（1）a=

1

2

，f(x)=x3-

3

2

x2-6x-3，f′（x）=3x²-3x-6…（1分），
解f′（x）=0得x₁=-1，x₂=2…（2分），

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

…（4分）
f(-3)=-

51

2

，f(-1)=

1

2

，f（2）=-13，f(3)=-

15

2

…（5分），
因为f（-3）f（-1）＜0、f（-1）f（2）＜0、f（2）f（3）＞0，根据零点定理及函数的单调性，f（x）在区间（-3，-1）、（-1，2）上各有且仅有一个零点，在区间（2，3）上没有零点，…（6分），即f（x）在区间（-3，3）上共有两个零点…（7分）．
（2）f′（x）=3x²-6ax-3（2a+1）…（8分），由f′（x）＞-3即3x²-6ax-3（2a+1）＞-3得?x＞-1，x²-2ax-2a＞0恒成立…（10分），因为x＞-1，x+1＞0，所以a＜

x2

2(x+1)

…（11分），
设f(x)=

x2

2(x+1)

，则f(x)=

x2

2(x+1)

=

1

2

[(x+1)+

1

x+1

]-1≥0，等号当且仅当x=0时成立…（13分），
所以a＜0…（14分）．

点评：本题主要考查利用导数求函数的极值及函数零点的求解，恒成立问题利用分离参数法求解．