Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数．现给出下列的四个无穷数列：（1）；（2）；（3）a_n=2n；（4），写出上述所有属于集合W的序号    ．

Answer 1

【答案】分析：根据集合W是否满足①；②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数这两个条件的集合，说明不是可根据函数的单调性，判定数列是不存在最大值，从而可判定选项．
解答：解：（1）由a_n=2n-n²，得a_n+a_n+2-2a_n+1=2n-n²-（n+2）²+2（n+2）+2（n+1）²-4（n+1）=-2≤0
所以数列{a_n}满足．
又a_n=-（n-1）2+1，当n=1时，a_n取得最大值1，即a_n≤1．
满足集合W的两个条件，从而可知（1）属于集合W
（2）由得=2×3ⁿ-2＞0
∴无穷数列{a_n}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（2）不属于集合W
（3）由a_n=2n得a_n+1-a_n=2（n+1）-2n=2＞0
∴无穷数列{a_n}是单调递增数列，故不存在M满足条件
则（3）不属于集合W
（4）由得a_n+a_n+2-2a_n+1≤0
所以数列{a_n}满足．
当n趋向无穷大时，趋近于3，故a_n＜3
满足集合W的两个条件，从而可知（4）属于集合W
故答案为：（1）（4）
点评：本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的单调性，同时考查了了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．