Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，，与平面所成的角为.

（1）证明：；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，并证明出，可得出，可证明出平面，由此可得出；

（2）由平面可得知为二面角的平面角，过点作，垂足为，连接、，可得出，利用几何关系计算出和，即可计算出的值.

（1）如图，取的中点，连接交于点，连接、.

，点为的中点，且.

又平面平面，平面平面，平面.

平面，又平面，.

又，，，.

又，平面，平面，平面.

平面，；

（2）由（1）可知平面，平面，，

又，就是二面角的平面角，

过点作，垂足为，连接、.

且，，平面，

平面，，

，，平面，

就是与平面所成的角，即，

又，，

又，，，，

又，，则.

故二面角的正切值是.