Question

如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F，G分别是EB和AB的中点．
（1）求三棱锥D-ABC的体积V；
（2）求证：CG⊥平面ABE；
（3）求证：FD∥平面ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）DC为三棱锥D-ABC的高，代人公式计算即可；
（2）线面垂直的判定；AE⊥面ABC，CG?面ABC，可得CG⊥AE，AE∩AB=A，可证得CG⊥平面ABE；
（3）FG∥CD，FD?面ABC，CG?面ABC，利用线面平行的判定定理可证得FD∥平面ABC．

解答： 解：（1）∵△ABC是边长为2a的正三角形，
∴S△ABC=

3

4

×4a2=

3

a2，又DC垂直于平面ABC且DC=a，
∴V=

1

3

S△ABC×DC=

3

3

a3． …（4分）
（2）证明：△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
又∵AE⊥面ABC，CG?面ABC，
∴CG⊥AE，AE∩AB=A，
∴CG⊥平面ABE；…8
（3）证明：F、G分别是EB和AB的中点，∴FG

∥

.

1

2

AE，
又EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，
∴CD

∥

.

1

2

AE，∴CD

∥

.

FG，
∴四边形CDFG是平行四边形，
∴FG∥CD，FD?面ABC，CG?面ABC，
∴FD∥平面ABC．

点评：本题考查了棱锥体积的计算，线面平行及垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．