Question

（12分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记,求证：；

（3）求数列的前项和．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）见解析；（3） 。

【解析】

试题分析：（1）由已知可得，a₃+a₅= 14， a₃•a₅=45且a₅＞a₃，联立方程解得a₅，a₃，进一步求出数列{a_n}通项，数列{b_n}中，利用递推公式b_n= s_n-s_n-1，n≥2

s_{1 ，}n=1

（2）把（1）中求得的a_n和b_n代入c_n=a_nb_n，求得c_n，进而可求得c_n+1-c_n求得结果小于等于0，原式得证．

（3）用错位相减求数列{c_n}的前n和

解：（1）∵，是方程的两根，且数列的公差>0，

∴=5，=9，公差∴………3分

又当=1时，有 

当

∴数列{}是首项，公比等比数列，

∴                                …………4分

（2）由（1）知         …………6分

∴

∴                               …………………………8分

（3），设数列的前项和为，

            （1）

       (2)     ………………10分

得：

化简得：                      ………………………12分

考点：本试题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属基础题．

点评：解决该试题的关键是利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，求数列{a_n•b_n}的前n和可采用错位相减法．