Question

已知：sin（α+β）=

3

5

，cos（α-β）=-

5

13

，

π

2

＜α+β＜π，π＜α-β＜

3π

2

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：依题意，由sin²（α+β）+cos²（α+β）=1可求cos（α+β），同理可求sin（α-β），再利用两角和的正弦即可求得sin2α的值．

解答：解：∵sin（α+β）=

3

5

，

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

4

5

，…3分
∵cos（α-β）=-

5

13

，π＜α-β＜

3π

2

，
∴sin（α-β）=-

12

13

…6分
∴sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]…9分
=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）…12分
=

3

5

×（-

5

13

）+（-

4

5

）×（-

12

13

）
=

33

65

…15分

点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查二倍角公式，突出“凑角”技巧的应用，属于中档题．