题目内容

已知
a
=(sin(
π
6
-2x)，-1)，
b
=(3，-2)，且函数f(x)=
a
•
b
，
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在区间[-
π
12
，
π
2
]上的最大、最小值及相应的x值．
分析：（Ⅰ）由题意可求得f（x）=
a
•
b
=-3sin（2x-
π
6
）+2，从而可求得f（x）的增区间；
（Ⅱ）由-
π
12
≤x≤
π
12
可求得-
π
3
≤2x-
π
6
≤0，利用正弦函数的性质可求得f（x）在区间[-
π
12
，
π
2
]上的最大、最小值及相应的x值．
解答：解：（1）∵f（x）=
a
•
b

=3sin（
π
6
-2x）+2
=-3sin（2x-
π
6
）+2，
∴由2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
（k∈Z）可求其递增区间为：[kπ+
π
3
，kπ+
5π
6
]（k∈Z）．
（2）∵-
π
12
≤x≤
π
2
，
∴-
π
3
≤2x-
π
6
≤
5π
6
，
∵g（x）=-sinx在[-
π
3
，
π
2
]上单调递减，[
π
2
，
5π
6
]上单调递增；
∴g（x）max=g（-
π
3
）=
3
2
，由2x-
π
6
=-
π
3
得，x=-
π
12
；
g（x）min=g（
π
2
）=-1，由2x-
π
6
=
π
2
得，x=
π
3
．
∴当x=-
π
12
，f（x）max=3×
3
2
+2=
3
3
2
+2；
当x=
π
3
时，f（x）min=3×（-1）+2=-1．
点评：本题考查正弦函数的单调性，以向量的数量积为载体考查正弦函数的定义域和值域，求得f（x）=-3sin（2x-
π
6
）+2是解决问题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
19、已知a=sin（-1），b=cos（-1），c=tan（-1），则a、b、c的大小关系是（　　）
已知
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，
c
=(0，3)，-
π
2
＜θ＜
π
2
．
（1）若(4
a
-
c
)∥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的取值范围．
下列命题：
（1）若函数f（x）=lg（x+
x2+a
），为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知
a
=(sinθ，
1+cosθ
)，
b
=(1，
1-cosθ
)，其中θ∈（π，
3π
2
），则
a
⊥
b

（4）在△ABC中，
BA
=a，
AC
=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
OP
=
OA
+λ(
AB
sinC
+
AC
sinB
)，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
以上命题为真命题的是
（1）（2）（3）（5）
（1）（2）（3）（5）
．
已知
a
=(sin(
π
4
+2α)，
6
6
)，
b
=(sin(
π
4
-2α)，-
6
6
)，α∈(
π
4
，
π
2
)，且
a
⊥
b
，求
2
sin2α+2cos2α的值．
已知
a
=(sinθ，cosθ)、
b
=(
3
，1)
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若f(θ)=|
a
+
b
|，△ABC的三条边分别为f（-
2π
3
）、f（-
π
6
）、f（
π
3
），求△ABC的面积．

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