Question

11．已知函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$．
（1）用单调性定义证明函数f（x）在（0，3）上是减函数；
（2）判断f（x）在（3，+∞）上的单调性（无需证明）；
（3）若函数f（x）在[a，b]上的值域为[6，10]，求b+a的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（2）由单调性的定义，可得f（x）在（3，+∞）上的单调性；
（3）由f（x）的极小值和f（1）=f（9）=10，即可得到取得最值时的区间，

解答 解：（1）证明：设0＜m＜n＜3，
则f（m）-f（n）=m+$\frac{9}{m}$-（n+$\frac{9}{n}$）=（m-n）（1-$\frac{9}{mn}$），
由0＜m＜n＜3，可得m-n＜0，0＜mn＜9，
即有1-$\frac{9}{mn}$＜0，即f（m）-f（n）＞0，
则函数f（x）在（0，3）上是减函数；
（2）由（1）可得函数f（x）在（3，+∞）上是增函数；
（3）f（x）=x+$\frac{9}{x}$在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，
则f（x）在x=3处取得极小值6．
由f（1）=f（9）=10，
即有区间[3，9]，a+b=12为最大值；
区间[1，3]，a+b=4为最小值．

点评 本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值和值域，考查运算和推理能力，属于中档题．