Question

(2006福建，21)已知函数，．

(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)，当t＋1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，；当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16； 当t＞4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，． 综上， (2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)=g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵， ∴， 当x(0，1)时，，φ(x)是增函数； 当x(1，3)时，，φ(x)是减函数； 当x(3，＋∞)时，，φ(x)是增函数； 当x=1，或x=3时，． ∴， ． ∵当x充分接近0时，φ(x)＜0，当x充分大时，φ(x)＞0． ∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 即7＜m＜15－61n3． 所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7，15－6ln3)．

提示：

剖析：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．