题目内容

统计中常用相关系数，一来衡量两个变量x、y之间线性相关关系的强弱，其计算公式是r=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
n
i=1
(yi-
.
y
)2
其中（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是散点图中的样本点，
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi试证明：r=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
[
n
i=1
xi2-n
.
x
2][
n
i=1
yi2-n
.
y
2]
．
分析：利用完全平方公式和平均数的计算公式分别把分子分母展开计算即可证明．
解答：证明：∵
n
i=1
(xi-
.
x
)2=(
x
2
1
-2x1
.
x
+
.
x
2)+…+(
x
2
n
-2xn
.
x
+
.
x
2)
=(
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
)-2
.
x
(x1+x2+…+xn)+n
.
x
2
=
n
i=1
x
2
i
-2n
.
x
2+n
.
x
2=
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2．
同理
n
i=1
(yi-
.
y
)2=
n
i=1
y
2
i
-n
.
y
2．
又
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)=(x1-
.
x
)(y1-
.
y
)+…+(xn-
.
x
)(yn-
.
y
)
=(x1y1-x1
.
y
-y1
.
x
)+(x2y2-x2
.
y
-y2
.
x
)+…+(xnyn-xn
.
y
-yn
.
x
)+n
.
x
.
y

=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
-n
.
x
.
y
+n
.
x
.
y
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
．
故r=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
[
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2][
n
i=1
y
2
i
-n
.
y
2]
．
点评：熟练掌握完全平方公式和平均数的计算公式是解题使得关键．
练习册系列答案
相关题目
给出下列结论：
（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；
（2）在回归分析中，可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（其中R2=1-
n
i=1
(yi-
yi
)2
n
i=1
(yi-
.
y
)2
）
（3）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；
（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
以上结论中，正确的有（　　）个．
给出下列结论：
（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；
（2）在回归分析中，可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（其中）
（3）在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；
（4）在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
以上结论中，正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

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