Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，E为棱A₁D₁中点．
（I）求二面角E-AC-B的正切值；
（II）求直线A₁C₁到平面EAC的距离．

Answer 1

分析：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E-AC-B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E-AC-B的正切值；
（II）直线A₁C₁到平面EAC的距离，即A₁点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据VA1-EAC=VD-A1AE，即可求出直线A₁C₁到平面EAC的距离．

解答：解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，
则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，
∴∠EFH即为二面角E-AC-B的补角
∵EH=a，HF=

1

4

BD=

2

4

a
∴∠tan∠EFH=

EH

HF

=

a

2 4 a

=2

2

∴二面角E-AC-B的正切值为-2

2

…6分
（II）直线A₁C₁到平面EAC的距离，即A₁点到平面EAC的距离d，…8分
∵VA1-EAC=VD-A1AE
∴S_△EAC•d=SA1AE•CD
∵EF=

EH2+FH2

=

a2+( 2 a 4 )2

=

3 2

4

a
∴S_△EAC=

1

2

•AC•EF=

1

2

•

2

a•

3 2

4

a=

3

4

a2
而SA1AE=

1

2

•

a

2

•a=

a2

4

∴

3

4

a2•d=

a2

4

•a
∴d=

a

3

∴直线A₁C₁到平面EAC的距离

a

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E-AC-B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．