Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）若F为AA₁的中点，求证：EF∥面DD₁C₁C；
（2）若F为AA₁的中点，求二面角A-EC-D₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证EF∥面DD₁C₁C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面DD₁C₁C内一直线平行，连接A₁B，根据中位线定理可知EF∥A₁B，而A₁B∥D₁C则EF∥D₁C，满足定理所需条件；
（2）设二面角A-EC-D₁的大小为θ，设正方体的棱长为2，求出梯形EFD₁C与梯形ADCE的面积，根据面积射影法求出二面角的平面角的余弦值即可．

解答：解：
（1）证明：连接A₁B；
∵E为AB的中点，F为AA₁的中点，
∴EF∥A₁B （2分）
又A₁B∥D₁C∴EF∥D₁C
∴EF∥面DD₁C₁C
（2）设二面角A-EC-D₁的大小为θ，设正方体的棱长为2，
由（1）知F，D₁，C，E四点共面，且四边形为等腰梯形，
又S梯形EFD1C=

1

2

×

3 2

2

×3

2

=

9

2

，S梯形ADCE=

1

2

×2×3=3
∴cosθ=

S梯形ADCE

S梯形EFD1C

=

3

9 2

=

2

3

∴二面角A-EC-D₁的余弦值为

2

3

．

点评：求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角，也可利用面积射影法求出二面角的平面角．