Question

已知点P是双曲线右支上的任意一点，由P点向双曲线的两条渐近线引垂线，垂足为M和N，则△PMN的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，算出双曲线的渐近线方程为y=±x，可得渐近线的夹角为60°，由四边形内角和定理算出，∠MPN=120°．设P（m，n），根据点到直线的距离公式分别算出|PM|、|PN|关于m、n的式子，结合双曲线方程算出|PM|•|PN|=，最后根据正弦定理的面积公式即可算出△PMN的面积．
解答：解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，即
∴两条渐近线的夹角为60°
∵PM⊥OM且PN⊥ON，∴∠MPN=120°
设P（m，n），可得
|PM|=，且|PN|=
可得|PM|•|PN|==
因此，△PMN的面积为S=|PM|•|PN|sin120°=
故选：C
点评：本题给出双曲线上一点P，P在两条渐近线上的射影点分别为M、N，求△PMN的面积．着重考查了双曲线的简单几何性质、四边形内角和定理和三角形的面积公式等知识，属于中档题．